c'est bien, 
c'est mieux.
Qu'est ce que la convergence faible ? C'est une convergence qu'est pas forte, déjà. [...] Avec une demi-flèche, ça veut pas dire que c'est la moitié d'une convergence. C'est beaucoup moins fin que la convergence forte, C'est d'ailleurs faible. [...] Le langage mathématique : si on converge fortement, on converge aussi faiblement.
Il existe des pathologies. N'en parlons pas.
Dans les cas limites, il peut toujours se passer des gags. Si c'est vrai dans les Hilbert, ça a des chances d'être vrai dans les réflexifs modulo... modulo des constantes. Il faut toujours réfléchir avant de dire une bêtise.
Et donc... euh... c'est l'heure que j'arrête, non ? Et,... et,... et,... et donc voilà. Le théorème essentiel que l'on énoncera sans le démontrer bien sûr la prochaine fois...
Bien sûr toutes les formules qui sont vraies restent vraies.
Si vous regardez la définition qui est ici, vous allez me dire « c'est pas marrant marrant marrant ».
Preuve. Il y a deux sens. Le si et puis le seulement si. Donc preuve. Faisons la preuve. Donc dans le premier sens...
C'est ce qu'on avait appelé la dernière fois le théorème fondamental de... de je sais pas quoi... de l'analyse fonctionnelle.
(Plan du cours) Y a « deux, petit a » ici, donc là « 2, a, a »... « deux a au carré ».
A titre d'exo, vous pouvez vous convaincre que tous les arguments sont ou ont été au tableau. Il faut juste les remettre dans l'ordre.
En dimension finie, le spectre c'est quoi ? C'est l'ensemble des valeurs propres, en gros. Plus qu'en gros, d'ailleurs, c'est exactement ça. En dimension infinie, on préfère parler du complémentaire, parce que... y a une raison.
Pour une démonstration, le mieux c'est de le faire soi-même. Faites-le par vous-mêmes, ce sera plus lumineux.
Celui-là il marche pour des gens qui sont pas forcément auto-adjoints.
Tout ça c'est réécrire de manière plus précise mais fort utile.
0, c'est le prix à payer pour être en dimension infinie.
Le seul point qui n'est pas... que je vous laisse vérifier à la maison ou sur les pistes de ski, je sais pas...
(après avoir demandé un quart d'heure supplémentaire pour finir la démonstration et le paragraphe, convaincu que les cours durent 1h30 et non 2h) Je vais essayer de pas trop merdouiller la démonstration [...]. On veut arriver à une contradiction, hein ? Parfait parfait. On devrait y arriver en moins d'une heure.
J'suis pas sûr sûr... Demandez à Vincent. On peut le généraliser à des objets pour lesquels ça a pas un sens... euh... évident, ça a même aucun sens. Pour diagonaliser faut être dans le même ensemble, enfin en principe.
Ça, ça prouve le lemme, enfin prétend le prouver.
Qu'est-ce que c'et que cette histoire-là ? Pour l'instant rien.
...Un ensemble de choses dégueulasses et pas très fréquentables.
Ce que je dis c'est à moitié juste et à moitié vrai.
Y a des gens derrière l'infini
...vous ferez la même chose en TD, y a pas à s'affoler, ne nous affolons pas. J'en étais où déjà ? Ah oui ; donc dès que vous êtes plus grands que delta sur deux ou ce genre de gags, ...
C'est intéressant de regarder le dual de la fonction nulle, mais ça a quand même ses limites aussi.
Quand je dis que c'est pas un espace métrique, j'ai probablement raison et j'ai tort à la fois.
C'est pas absolument trivial trivial, mais ce n'est pas non plus difficile difficile ; si on n'a jamais réfléchi deux minutes à la question, on peut se poser la question.
Y en a et puis y en a assez ; qu'est-ce que ça veut dire cette affirmation idiote ? ...
Donc vous vérifiez, hein, patati patata. Vous avez le chapeau intégrable.
Et tout ça c'est bien vrai. Voilà voilà voilà.
Il faut pas la retenir par coeur, je vous la donne pas.
Est-ce que ça existe toujours ? La réponse est oui. Pourquoi est-ce que ça existe ? Eh bien... parce que. C'est une lemme bien connu des spécialistes.
Lui, il est petit ; petit, mais costaud quand même. Dans son dual, on trouvera des choses qui sont pas des fonctions mais des horreurs. On dérivera dans l'espace des horreurs.
Miracle : la notion de convergence au sens des distributions est la notion la plus faible de convergence imaginable. On pourrait toujours en imaginer de plus faibles, j'imagine...
On peut être joli sans être utile, et être utile sans être joli. Je parle des théorèmes, bien sûr.
En principe on a dû vous dire qu'on n'avait pas le droit de dériver des convergences. On aurait dû vous le dire. On vous l'a dit. On a eu raison de vous le dire.
Les physiciens voient ça comme ça. C'est un argument, Mais on va quand même faire la preuve.
Je vais bientôt vous lâcher ; je termine le chapitre qu'on va commencer la semaine prochaine...
Comment ça se fait ? J'ai peut-être pas envie forcément de faire la preuve...
Ce que vous voyez tout de suite c'est quoi ? Euh... rien. On voit rien pour l'instant, mais ça vous donne l'idée de généralisation.
La réponse est oui et non. Oui au sens de non, en fait. La réponse est non.
Il y a une infinité de points de vue sur ce phénomène, et tous sont honorables.
Et... Et... Et donc voilà. Bon, revenons à nos moutons - exemples fondamentaux. Donc ça c'est la masse de Dirac et gnagnagni et gnagnagna...
Donc ça c'est une petite remarque qui n'a l'air de rien mais... qui... n'est... pas... grand'chose.
Preuve. Est-ce qu'on va la faire ? Non, bien sûr. (...) Non, celle-là, elle est vraiment facile. Même moi je pourrais la faire.
(Haut) Bien sûr, cela exige une petite démonstration. (Bas) Bien sûr, on ne va pas la faire.
Je reviens à notre problème. Tout à l'heure, vous n'étiez pas contents parce que (...) Vous serez encore plus contents quand ce sera fini, c'est ça ?
Alors, vous allez me dire : oui, mais... (Tous en choeur) Oui, mais...
L'avantage avec ces gros espaces, c'est qu'on sait que ça existe. Alors on le trouve par une méthode honteuse et on dit « eh bien puisqu'il existe, c'est lui. »
Bon, pendant qu'on y est je vais vous donner toutes les formules et puis on n'en démontrera aucune, comme ça il n'y aura pas de jalouse...
Preuve : est-ce qu'on va la faire ? Bien sûr que non, il faut bien donner des petits exercices... Celle-là elle est vraiment facile, même moi...
Les physiciens ne travaillent que dans les espaces de Fourier... ils vivent dedans. on a beaucoup de mal à les convaincre du contraire.
(Hésite dans sa démonstration) ... (à voix basse)On m'aurait menti ?
Et donc la conclusion de tout cela (tout le cours), c'est quoi ? Eh bien, il n'y en a pas.
Ça, c'est un peu la contrapo... heu... du théorème de Baire. Enfin, la contra..., enfin quoi bon.
Voilà d'autres théorèmes dont on ne se servira jamais. Enfin, peut-être...
Monsieur Duplo... pardon, monsieur Duflo.
Alors, preuve... preuve entre guillemets, parce que...
Dans les mots « convexe fermé » il y a « convexe ». Et un convexe, c'est... euh... convexe.
On vérifie facilement 1/2 + 1/2 = 1.
Moi tous les Hilbert que je connais ils sont séparables, et les autres je veux pas les connaître.
Vous pouvez avoir une dérivée dans L² et ne pas être vous-même dans L². Vous pouvez ne pas être vous-même dans L². C'est bête mais c'est comme ça.
On suppose qu'ils sont uniques... qu'ils sont uniques... qu'ils sont uniques.
C'est un théorème de la théorie de la mesure, c'est-à-dire qu'on peut approcher toute fonction, patati, patata.
Une fonction, c'est toujours la primitive de sa dé... ri... vée, hein !
Alors, on vérifie toujours, enfin on le fera jamais, que [...]
Les gens qui n'aiment pas l'analyse disent qu'il n'y a qu'une formule, l'intégration par parties. En fait, même pas...
C'est bien un produit scalaire. Pourquoi est-ce un produit scalaire ? Euh... c'est bien un produit scalaire.
[claquement de langue] Parfait, parfait, parfait... (chanté)
[hölderien,] c'est moins fort que d'être lipschitzien, mais c'est plus fort que de n'être rien.
Vous, vous êtes hölderien d'indice 1/2.
Je suis d'accord avec moi-même.
Et donc, vous êtes nul.
Pourquoi ? Eh bien, par... ce... que !
Et donc, comment dirais-je ?... Voilà !
La question est de savoir pourquoi on n'écrit pas autre chose. Ici, la raison est essentiellement que toute autre chose est fausse.
Mais ! Mais, quelle est la différence avec ce que vous connaissez ? Aucune.
Qui peut le plus peut le... moins !
C'est un exercice intéressant donc... on va pas le faire.
On admet ce lemme puisqu'on vient de le démontrer.
Si je l'avais pris fermé ce serait moyennement... juste... quoi.
Qui n'est pas convaincu que ce résultat est vrai ? Personne... ce résultat est donc déclaré vrai. Vote démocratique...
(En parlant de l'inégalité de Poincaré) [...] qui est plus petit que u point carré, qui n'a rien à voir avec...
C'est une fonction C zé... continue.
C'est plus au sens de moins.
c'est bien, c'est mieux.
D'où venons-nous ? Où allons-nous ? C'est tout le problème de l'analyse des opérateurs.
On cherche des solutions très merdiques, hein !
C'est symétrique parce que la multiplication est commutative. L'addition aussi, mais là ça n'a aucune importance.
Il va s'écraser vers zéro comme... voilà, quoi !
Vous allez me dire : « Oui, les matrices en dimension infinie, on n'aime pas ! ». C'est votre droit.
Faudrait quand même faire un peu plus attention... mais on ne le fera pas.
Parfois, on pourrait dire : « Oui, il y a des astuces »... Je vérifie quand même.
[...] plus... au signe près...
C'est vous dire à quel point c'est difficile à démontrer, puisque c'est faux !
Est-ce qu'on est content, là ? Oui, on est content. On est vâââchement content.
(Béthuel) Retrouvons les conditions aux limites (Élève) Où sont-elles ? (Lui) Vous allez me dire, on les a peut-être jamais perdues, alors...
FFT, c'est-à-dire Fast Food Transform.
On est bien obligé de traiter le mal par le bien... eh oui !
Faible, c'est pas forcément plus faible que fort.
Un nombre non dénombrable de suspects au commissariat, c'est serré.
Raisonnons par l'absurde (écrit au tableau) Rai... son... (efface) Bon, réfléchissons par l'absurde (écrit au tableau) Ré... (efface) Bon, par l'absurde. (écrit au tableau) par l'absurde
Que nul Hilbert n'entre ici s'il n'est séparable.
Il faut toujours soigner le mal par l'éradication des preuves.
Art et esthétique ; c'est pas incompatible.
Ce que je dis est juste et vrai. Enfin, en tout cas, c'est juste.
(élève) J'ai eu ça à l'X. (Lui) C'est pas très dur... enfin, excusez-moi pour votre oral de l'X.
Elle est orthonormée et... non ! Elle est pas forcément orthonormée, mais elle est orthogonale. Bon donc elle est orthonormale et...
Et et euh... m'enfin bon.
Ça converge bien ? Allez, on y croit. Si quelqu'un dans cette salle pense que ça ne marche pas, qu'il se lève ou qu'il se taise à jamais.
et k c'est la même chose. D'ailleurs pour être cohérent, on aurait dû
les appeler p.
Il est important, ce théorème, mais il ne sert pratiquement jamais. Ben oui, il est général.
C'est un théorème fondamental, donc je vais pas en gâcher la poésie en essayant de le démontrer...
Alors pourquoi y a pas de suite qui converge dans 
? Eh
bien tout simplement... parce que !
, ça fait 
... euh... 
... j'espère que je fais
pas de bêtise, moi ça fait longtemps que je fais plus d'algèbre.
Quelle sorte de théorèmes démontre-t-on ? Eh bien, des théorèmes qui sont vrais. Est-ce qu'il faut des hypothèses ? Non, je crois pas...
Comme c'est vous qui les fabriquez, ces espaces, vous vous arrangez pour qu'ils aient les bonnes propriétés. Faudrait vraiment être idiot pour...
On cherche le coupable. On a des coupables possibles (ceux qui n'ont pas d'alibi). On montre qu'ils sont bornés ; il y a donc une sous-suite qui converge vers un suspect idéal. Bon, c'est plus dur si on en a plusieurs, surtout si c'est non dénombrable. Des fois, votre coupable, c'est un extraterrestre ou un esprit malfaisant, et vous pouvez toujours chercher, vous trouverez rien pour le coincer.
On l'appelle spectre ponctuel, pourquoi ? Parce qu'il arrive toujours à l'heure.
Euh non c'est l'inverse... je l'avais fait exprès bien sûr.
Oui, allez-y, soufflez-moi la solution, plus fort..
On fait des gros espaces à coucher dehors, à dormir debout etc.
Ça, c'est vrai quel que soit v gnagnagni gnagnagna.
Elles ne donnent pas de vrai spectre. Enfin, un spectre observable, quoi.
0+0, quoi qu'on fasse, ça fait toujours 0.
C'est plus dur en dimension supérieure. C'est d'ailleurs vous dire à quel point c'est plus dur à démontrer, puisque c'est faux.
C'est faux dès que n est supérieur ou égal à 4, mais bon, la dimension 4, c'est grand...
Il y a un théorème en Analyse qui dit que les 
c'est toujours des fonctions
très régulières. Un u, ça peut être quelque chose d'assez
sordide, mais un 
c'est bien rond.
Bon, maintenant, je peux dégrader le 
en un u.
Le membre de droite, ou de gauche, enfin ça dépend pour qui, pour vous il est à droite, mais pour moi il est à gauche.
Bon. Alors pourquoi j'ai le droit ? Alors là, ça dépend de votre attitude : vous pouvez dire « Ben je vais me gêner, tiens. »
On les retrouve grâce à (2) -- (2), c'est celui qui est ici. Mais, vous allez me dire, qui est (1) ? Bon, je suis gentil, je vous le dis...
Ça, ça veut dire... Est-ce que ça veut dire que c'est vrai ? En tout cas, vous ê tes pas loin de la vérité.
Dans les distributions, comme il y a beaucoup de gens, il faudra faire le tri entre ceux qui sont sympa et ceux qui ne le sont pas.
Si on ne sait pas dire dans quel sens ça converge, on va dire que ça converge au sens des distributions, et la plupart du temps ce sera vrai.
Sur [-1,1], c'est pas intégrable, et là vous êtes eus.
Si elle était pas d'ordre 1, elle serait d'ordre 0, parce que juste celui qui est en-dessous de 1,... ben y a que zéro, hein !
Dans les distributions, il y a de tout : vous avez d'abord les fonctions, et ensuite les trucs dégoûtants, et après, les trucs abominables..
Est-ce que tout le monde est d'accord ? Est-ce que ça vous semble moral, au moins ? Parce que bon, après, les détails sont un peu sordides, c'est toujours pareil, et c'est pas après un week-end pascal et alors qu'on prépare un week-end du premier mai qu'on va le démontrer, il faut qu'on se repose un peu...
On va rentrer dans le gras du sujet, si j'ose dire.
Patati... comment dirais-je... ah oui, patata...
Moralement, c'est très moral, hein...
Ce qui est important, c'est que 0 et -0 c'est la même chose.
...comme les intégrales improprement appelées impropres.
Eh ben là, c'est un peu la même chose, sauf que c'est pas tout à fait pareil [...] mais c'est pas loin d'être la même chose, grosse - comment dirais-je - modo.
La dernière formule, pour la route.
Le tout c'est d... d... d..., c'est d'y croire.
Cette technique, on la voit aussi pour les fonctions. Non ? Oui. Non ? Oui, hein ? On la voit ici, vous l'avez peut-être vue en analyse, aussi.
Et donc en fait... en fait donc... donc en fait... en fait donc... Donc, en fait...
Qui dit espace affine dit 2 dimensions, donc on a 2 paramètres à notre disponibilité. Donc on peut, grosso merdo...
1, c'est typiquement la fonction bornée. Enfin, vous allez me dire : sa dérivée c'est 0 donc elle a d'autres propriétés.
Comme 1 c'est pair, enfin symétrique...
(Béthuel) Donc, donc, donc... (Élève) Voilà ! (Béthuel) Donc, voilà ! Je cherchais le mot.
c'est petit. Le 
il a la manie de tendre vers
0, innocemment. C'est sa vocation.
"partition de l'unité" : en principe c'est contradictoire.
convolution sur des braves fonctions
Pour trouver le coupable parmi les suspects approchés, il faut un théorème de compacité.
Définition : gna gna gnaaa... soit u une distribution...
C'est la même démonstration que tout à l'heure, sauf que c'est pas pareil.
Plus que vous dérivez, plus que c'est singulier.
Remarque : v est conti... conti... continue, v est continue, v est continue, v est continue. (2 minutes plus tard) v est continue.
Soit u une distribution sur 
; ça marche aussi sur les intervaux de
...
Démonstration : 
est complet et patati... patata.
Il n'y a pas de convention universelle des droits du Fourier.
On bave jusqu'à l'ordre 
.
L'intégrale c'est plus poétique, le crochet c'est plus..., euh...
Et puis, comment dirai-je... et puis voilà.
Que se passe-t-is ?
Conclusion : par une argument "diagonal". Attention c'est pas l'argument qui est diagonal, hein.
Généralisation aux distribution de 
:
Règle n°1 : il faut faire attention.
Règle n°2 : il faut réfléchir.
Question : l'intégrale converge-t-elle vers 0 ? Réponse : oui. Voilà. On s'est posé la bonne question et on y a répondu.
La définition est indépendante de quoi ? de 
! et pataki et pataka.
C'est immédiat au sens si on croit que ce que j'ai raconté hier est vrai.
Et donc donc voilà voilà voilà... voilà voilà voilà.
(à propos d'une de ses démonstrations) Ça c'est purement euh... pipo ! hein ?
La formule des sauts, pas la formule des sots, hein.
La formule de Stokès
Question : pourquoi ? Réponse : parce que.
Là c'est plus au sens de moins.
Par le théorème des accroissements qui sont... finis !
Quelle est la morale de cette histoire ? Y'en a pas bien sûr... mais... (quelques instants plus tard) la morale c'est que... (quelques instants plus tard) la deuxième morale c'est...
Ya plusieurs façons de définir ce que c'est qu'une variété, par un paramétrage en général, mais y'en a toujours un qu'est plus ou moins canonique.
Le 
il a toujours été petit. le 
je sais pas mais il
commence à le devenir.
Un physicien, si vous lui parlez de 
il sort son fusil.
On va tirer le tableau vers le bas pour baver un peu. Mais vous allez me dire ça va craquer en haut.
Ça peut paraître évident, ça l'est.
Et pour avoir des propriétés sur ce noyau et patati et... (tous en choeur) patata.
Une matrice strictement positive est inversible.
La zoologie des EDP, c'est comme la conjugaison du verbe être: jésuite, tuer, ...
La généralisation de i en dimension plus grande, c'est pas i hein.
C'est trop violent 
, on va se limiter à 
.
Le principe du maximum c'est bien plus vieux que Sobolev, ça remonte à maximum. C'est très vieux. Je dis pas que maximum était vieux, hein...
... fini ! (i.e. 
)
En tout, cette preuve est pas entièrement exacte, mais c'est moralement exact. C'est juste sordide.
c'est le rez-de-chaussée et tout ce qu'il y a en dessous. 
c'est
le premier étage. Ensuite vous vous dites : il faut que j'aille au rayon
du bricolage, et c'est 
. Et on s'arrête là parce qu'on trouve tout
au rayon du bricolage.
Pour l'instant, on n'a rien fait de très profond, hein, eh oui, il faut le reconnaître. On n'a pas avancé du tout. Au moins on n'a pas reculé.
De plus... de plus... de plus... de plus... de plus...
Sans ramer, on est emporté par le courant. C'est ça la morale de tout ça.
est presque une fonction à support compact. Pour un physicien,
hein, elle est tellement petite que ça se voit pas.
c'est juste couper la poire en deux. On n'a besoin que d'une
demi-dérivée.
Mais on peut dire qu'on s'en fout. On peut toujours le dire. Et au fond c'est peut-être la vérité. Mais ça il faut pas le dire.
À l'infini vous serez plaplaplaplapla.
On va en dire deux mots. Et de deux mots il faut choisir le moindre.
Imaginez qu'il y a des gens qui vivent pas dans l'espace... qui vivent dans l'espace de Fourier. On pourrait très bien vivre dans l'espace de Fourier. Les astronomes ils vivent dans l'espace de Fourier.
Il ne faut pas croire que la vraie vérité est ailleurs. La vraie vérité est spectrale.
Si vous avez un pull jaune, c'est une information, si on peut dire... une
information spectrale. Vous émettez beaucoup de 
.
Il y a une correspondance entre l'univers et l'univers de Fourier... C'est pas des univers parallèles. C'est plutôt des univers orthogonaux. Les physiciens vivent dans l'univers de Fourier.
Que celui qui ne se trompe jamais me jette la première pierre.
Quel est le dual des suites à décroissance rapide ? C'est les suites à croissance lente. Eh oui, c'est bizarre, c'est comme ça. c'est le yin... et le yang.
Vous voyez ce que je veux dire ? Non ? Bon, tant pis.
Alors là on a rien à dire. Mais vous allez me dire : ben alors, pourquoi est-ce qu'on l'a dit ? Ben parce qu'il faut le dire quand même.
Partition de qui ? de l'u...? de l'uni...? de celui qui vaut un.
(devant une équivalence à prouver) Bah c'est évident. (la classe est perplexe) Pourquoi est-ce évident ? Bah si on a l'un on a l'autre, et dans l'autre sens c'est pareil.
Les distributions tempérées : ni trop chaudes, ni trop froides.
C'est une fonction test ? hein, oui ? il est ? n'est-il pas ? oui, il est.
(pendant le cours sur la transformée de Fourier) Dans cette histoire, c'est toujours les mêmes qui portent le chapeau.
(toujours pendant ce cours) Ya un mysticisme du pi.
C'est intuitif. Sauf le 
qui est grotesque.
(à propos d'un ensemble de distributions) Ya des gens répugnants là-dedans.
C'est encore un aspect grotesque de la théorie, mais on n'y peut rien.
Et donc c'est établi. It is established (prononcé à la française).
On est dans la classe de Monsieur Schwartz.
(au cours d'une démonstration) Acte de foi : la fonction F est bien à valeur dans S.
Lax-Milgram est un objet tout-terrain.
On triche, mais bon...
Vous allez me dire : que ça soit plus ou moins, c'est pareil. En fait non c'est pas pareil, par exemple si c'est votre compte en banque, il vaudrait mieux que ça soit plus. Mais comme c'est pas votre compte en banque, vous vous en foutez.
Les exponentielles réelles et les exponentielles complexes c'est pas la même chose, hein. C'est pas nouveau mais c'est un fait.
C'est magnifique, c'est magnifique, hein, ça veut dire que c'est beau. On a résolu le problème.
C'est des calculs élémentaires, sans astuce, sans vie. On triche pas quoi.
Ya pas de Fourier dans Brézis... euh, dans le Brézis.
Tout à l'heure on a un peu triché : on a éliminé des solutions classiques tout à fait régulières par des arguments un peu... euh... des arguments... c'était un peu discutable... enfin l'histoire le dira.
Le infimum...
On rajoute des termes d'ordre 1. On le fait pas que pour le plaisir. Mais on le fait quand même un peu pour le plaisir.
(à propos de la version classique du principe du maximum) Ça c'était la version light, comme le coca-cola.
Vous allez me dire : ouiiiii, cest pas une une fonction régulière, mais on va pas se gêner.
Pour conclure le cours, démontrons, euh..., non, essayons de démonter le théorème suivant.
Comment on va s'en sortir ? Eh bien comme toujours, à la craie.
Lax et Milgram. Lax Milgram. Et pas Émile Gram.
(Pendant l'examen) Bon, on va avoir un sujet de philo (l'examen a lieu en même temps que les oraux littéraires). Bon, le sujet est un peu long. Alors vous faites ce que vous pouvez faire. Vous ferez le reste à la maison.