Si la vérité ou la fausseté n'a de sens que selon la possession d'un moyen de démonstration : alors un énoncé inconnu comme "p" n'est ni vrai ni faux. A la question "p est-il vrai ? " on doit répondre "non" et non "je ne sais pas". Donc p n'est pas vrai. De même p n'est pas faux. Donc on a non-p et non-non-p soit non- (p ou non-p) pour des énoncés inconnus.
Soit E={1,2} et F={1}. Soit p (x) : x appartient à F. Pour x=1, x appartient à F donc p (x) donc p (x) ou non-p (x). Pour x=2 : x n'appartient pas à F donc non-p (x) donc p (x) ou non-p (x). Donc pour tout x de E, p ou non-p est vrai. Si on pose maintenant la question : "Soit x de E. p (x) ? " on doit répondre non, de même qu'à la question "Soit x de E. non-p (x) ? ." Donc pour x de E, on a non- (p ou non-p) ce qui est absurde.
Si on réfute la réponse "je ne sais pas" plutôt que de répondre systématiquement non aux propriétés inconnues, on peut répondre "la question n'a pas de sens" ce qui signifie qu'on n'accorde de sens q'aux propositions décidées (ou qu'on n'accorde pas l'existence à un objet défini simplement par son appartenance à E). Mais si avant sa démonstration, une proposition n'a pas de sens -> ne peut pas être comprise et donc ne peut pas être démontrée (sauf par hasard) -> aucune proposition ne peut être démontrée. Absurde (mais on ne peut pas conclure de l'absurdité de cette réfutation du tiers-exclu que le tiers -exclu est valable car cette opération ferait usage du tiers-exclu).
Intuitionisme : apparemment plus réducteur, mais en fait tout théorème classique est alable en intuitionisme précédé de non-non- () (si on applique la même opération sur les définitions). Pourquoi alors se priver d'une information supplémentaire pertinente ?
Suites de choix libres : -> postulat de liberté et aussi existence de deux types de propriétés sur ces suites : 1) celles valables en intuitionisme (décidables à partir d'un nombre fini de termes) et 2) celles démontrables classiquement, qui ne sont en fait pas démontrables pour une suite particulière car celle-ci devrait être effectivement donnée, mais pour toute une classe de suites définie par une propriété commune, et alors la démonstration n'est pas constructive car suppose la suite achevée (en fait elle opère plutôt sur un ensemble de ces suites que sur une suite, qui existe mais est inaccessible [exemple d'inaccessible dont l'existence a des conséquences accessibles]).